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九章算術卷第七 盈不足

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〔一〕今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?

荅曰:七人,物價五十三。

〔二〕今有共買雞,人出九,盈十一;人出六,不足十六。問人數、雞價各幾何?

荅曰:九人,雞價七十。

〔三〕今有共買璡,人出半,盈四;人出少半,不足三。問人數、璡價各幾何?荅曰:四十二人,

璡價十七。〔四〕今有共買牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十。問家數、牛價各幾何?荅曰:一百二十六家,

牛價三千七百五十。

盈不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,并以為實。并盈、不足為法。實如法而一。有分者,通之。盈不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,餘,以約法、實。實為物價,法為人數。其一術曰:并盈不足為實。以所出率以少減多,餘為法。實如法得一人。以所出率乘之,減盈、增不足即物價。

〔五〕今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百。問人數、金價各幾何?

荅曰:三十三人。金價九千八百。

〔六〕今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三。問人數、羊價各幾何?

荅曰:二十一人,

羊價一百五十。

兩盈、兩不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘所出率,以少減多,餘為實。兩盈、兩不足以少減多,餘為法。實如法而一。有分者通之。兩盈、兩不足相與同其買物者,置所出率,以少減多,餘,以約法實,實為物價,法為人數。

其一術曰:置所出率,以少減多,餘為法。兩盈、兩不足,以少減多,餘為實。實如法而一得人數。以所出率乘之,減盈、增不足,即物價。〔七〕今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數、豕價各幾何?荅曰:一十人,

豕價九百。

〔八〕今有共買犬,人出五,不足九十;人出五十,適足。問人數、犬價各幾何?

荅曰:二人,

犬價一百。盈、適足,不足、適足術曰:以盈及不足之數為實。置所出率,以少減多,餘為法。實如法得一人。其求物價者,以適足乘人數得物價。

〔九〕今有米在十斗桶中,不知其數。滿中添粟而舂之,得米七斗。問故米幾何?

荅曰:二斗五升。

術曰:以盈不足術求之,假令故米二斗,不足二升。令之三斗,有餘二升。

〔一0〕今有垣高九尺。瓜生其上,蔓日長七寸。瓠生其下,蔓日長一尺。問幾何日相逢?瓜、瓠各長幾何?

荅曰:五日、十七分日之五。瓜長三尺七寸、十七分寸之一,

瓠長五尺二寸、十七分寸之十六。

術曰:假令五日,不足五寸。令之六日,有餘一尺二寸。

〔一一〕今有蒲生一日,長三尺。莞生一日,長一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。問幾何日而長等?

荅曰:二日、十三分日之六。

各長四尺八寸、十三分寸之六。

術曰:假令二日,不足一尺五寸。令之三日,有餘一尺七寸半。

〔一二〕今有垣厚五尺,兩鼠對穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。問幾何日相逢?各穿幾何?荅曰:二日、十七分日之二。

大鼠穿三尺四寸、十七分寸之十二,

小鼠穿一尺五寸、十七分寸之五。

術曰:假令二日,不足五寸。令之三日,有餘三尺七寸半。

〔一三〕今有醇酒一斗,直錢五十;行酒一斗,直錢一十。今將錢三十,得酒二斗。問醇、行酒各得幾何?荅曰:醇酒二升半,

行酒一斗七升半。

術曰:假令醇酒五升,行酒一斗五升,有餘一十。令之醇酒二升,行酒一斗八升,不足二。

〔一四〕今有大器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛。問大、小器各容幾何?

荅曰:大器容二十四分斛之十三,小器容二十四分斛之七。

術曰:假令大器五斗,小器亦五斗,盈一十斗。令之大器五斗五升,小器二斗五升,不足二斗。〔一五〕今有漆三得油四,油四和漆五。今有漆三斗,欲令分以易油,還自和餘漆。問出漆、得油、和漆各幾何?

荅曰:出漆一斗一升、四分升之一,

得油一斗五升,

和漆一斗八升,四分升之三。

術曰:假令出漆九升,不足六升。令之出漆一斗二升,有餘二升。

〔一六〕今有玉方一寸,重七兩;石方一寸,重六兩。今有石立方三寸,中有玉,并重十一斤。問玉、石重各幾何?

荅曰:玉一十四寸,重六斤二兩。石一十三寸,重四斤十四兩。

術曰:假令皆玉,多十三兩。令之皆石,不足十四兩。不足為玉,多為石。各以一寸之重乘之,得玉石之積重。

〔一七〕今有善田一畝,價三百;惡田七畝,價五百。今并買一頃,價錢一萬。問善、惡田各幾何?

荅曰:善田一十二畝半,

惡田八十七畝半。術曰:假令善田二十畝,惡田八十畝,多一千七百一十四錢、七分錢之二。令之善田一十畝,惡田九十畝,不足五百七十一錢、七分錢之三。

〔一八〕今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等。交易其一,金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何?

荅曰:金重二斤三兩一十八銖,銀重一斤十三兩六銖。

術曰:假令黃金三斤,白銀二斤、一十一分斤之五,不足四十九,於右行。令之黃金二斤,白銀一斤、一十一分斤之七,多一十五於左行。以分母各乘其行內之數,以盈不足維乘所出率,并以為實。并盈不足為法。實如法,得黃金重。分母乘法以除,得銀重。約之得分也。

〔一九〕今有良馬與駑馬發長安至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里,日增十三里。駑馬初日行九十七里,日減半里。良馬先至齊,復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何?

荅曰:一十五日、一百九十一分日之一百三十五而相逢。良馬行四千五百三十四里、一百九十一分里之四十六。

駑馬行一千四百六十五里、一百九十一分里之一百四十五。術曰:假令十五日,不足三百三十七里半。令之十六日,多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數,并而為實。并盈不足為法。實如法而一,得日數。不盡者,以等數除之而命分。

〔二0〕今有人持錢之蜀,賈利十三。初返歸一萬四千,次返歸一萬三千,次返歸一萬二千,次返歸一萬一千,後返歸一萬。凡五返歸錢,本利俱盡。問本持錢及利各幾何?

荅曰:本三萬四百六十八錢、三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六。利二萬九千五百三十一錢、三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。

術曰:假令本錢三萬,不足一千七百三十八錢半。令之四萬,多三萬五千三百九十錢八分。

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