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四平方和定理

2021-07-16 12:27:20

四平方和定理(英语:Lagrange's four-square theorem) 说明每个正整数均可表示为4个整数平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。

注意有些整数不可表示为3个整数的平方和,例如7。

历史

(a2+b2+c2+d2)(x2+y2+z2+w2)=(ax+by+cz+dw)2+(ay−bx+cw−dz)2+(az−bw−cx+dy)2+(aw+bz−cy−dx)2{\displaystyle(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})=(ax+by+cz+dw)^{2}+(ay-bx+cw-dz)^{2}+(az-bw-cx+dy)^{2}+(aw+bz-cy-dx)^{2}}

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数m{\displaystyle m}n{\displaystyle n}能表示为4个整数的平方和,则其乘积mn{\displaystyle mn}也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

  • 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 p,同余方程

x2+y2+1≡0(modp){\displaystyle x^{2}+y^{2}+1\equiv 0{\pmod{p}}}必有一组整数解x,y满足0≤x<p2{\displaystyle 0\leq x<{\frac{p}{2}}}0≤y<p2{\displaystyle 0\leq y<{\frac{p}{2}}}(引理一)

至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

证明

资料专题:四平方和定理证明